Od matematyki do fizyki

To oczywiste, że matematyka ściśle wiąże się z fizyką. Nie można opisywać fizyki bez języka matematyki. Ale warto zastanowić się głębiej nad tymi powiązaniami. Warto przedstawić dwa obszary, w których matematyka łączy się z fizyką. Pierwszy to zagadnienie NIESKOŃCZONOŚCI. Drugi to RÓWNANIA.

Zagadnienie nieskończoności jest fascynujące zarówno w przestrzeni matematycznej, ale także i fizycznej. Próbowano je połączyć, chociaż udało się to tylko częściowo. Pojawiły się sprzeczności. Dokonano zatem pewnych dostosowawczych uproszczeń i kompromisów. Aby to zrozumieć, trzeba przeprowadzić pewien wywód w maksymalnie uproszczonej wersji. To pomoże zrozumieć sprawę nawet tak zwanej nodze matematycznej.

Na początek trzeba postawić zasadnicze pytanie: ile jest możliwych ZDARZEŃ w istniejącej CZASOPRZESTRZENI Wszechświata? Czy jest to liczba skończona, czy też liczba zdarzeń jest nieskończona? Podobno RZECZYWISTOŚĆ jest skończona. Oczywiście jeżeli brana jest pod uwagę wyłącznie rzeczywistość Wszechświata z wykluczeniem ewentualności „drugiego świata” i wszelakich transcendencji.

Matematyka jednak podsuwa 3 MOŻLIWOŚCI. Pierwsza, że zbiór zdarzeń to skończona liczba. Druga możliwość, to że liczba zdarzeń jest nieskończona i ma naturę nieskończoności liczb NATURALNYCH: 0,1,2,3,4, itd. Trzecia możliwość, to liczba zdarzeń jest równa nieskończoności mającej naturę liczb RZECZYWISTYCH.

Jak pogodzić problem ze skończoną rzeczywistością i nieskończoną ilością zdarzeń w czasoprzestrzeni? 

Intuicyjnie można sobie wyobrazić zbiór skończony. Problem pojawia się przy pojęciu nieskończoności. Sprawa zupełne się komplikuje, jeżeli uwzględni się DWA porządki nieskończoności. Sprawę, że jedna nieskończoność jest większa od drugiej. Nieskończoność jest problemem, ale skalowalność nieskończoności, to zupełny abstrakt.

Nieskończoność liczb naturalnych różni się od nieskończoności liczb rzeczywistych w zasadniczy sposób. To tak jakby wyliczyć tę drugą poprzez POMNOŻENIE nieskończoności liczb naturalnych przez samą siebie. Powstanie wówczas byt POTĘGOWY. W skrócie: nieskończoność - nieskończoności.  Natura zdarzeń w fizyce określana jest nieskończonością „potęgową”, liczb rzeczywistych.

W fizyce zakłada się, że czasoprzestrzeń jest CIĄGŁA i dlatego ma charakter zbioru liczb rzeczywistych. To umożliwia CIĄGŁOŚĆ zdarzeń, czyli: płynne przechodzenie z punktu do punktu. Tak też pojawia się i istnieje NIESKOŃCZONOŚĆ w obliczeniach fizycznych. Ceną za wygodną w fizyce ciągłość jest nieskończoność, która tworzy problemy w obliczeniach. Klasyczna transakcja: coś za coś. Fizycy matematyczni zaakceptowali nieskończoność matematyczną.

Ciągłość jest także intuicyjna, ponieważ przechodzenie od punktu do punktu ma taką naturę. Gdyby nie istniała owa ciągłość, to z punktu do punktu przechodziłoby się na zasadzie jakiegoś „przeskoku”. To jest nienaturalne.

Gdyby wyobrazić sobie nieskończony ciąg liczb naturalnych: 0,1,2,3,4, itd. To przejście pomiędzy liczbami odbywa się skokowo, a nie płynnie. Natura czasoprzestrzeni także miałaby taki PUNKTOWY charakter. Punkty zaś nie są ze sobą połączone, więc jak odbywałoby się przejście z punktu do punktu? Czy wówczas używanie nieskończoności w obliczeniach fizycznych byłoby uprawnione?

Owszem, operowanie na zbiorach nieciągłych daje komfort, jaki wynika z operacji na PRZELICZALNYCH zbiorach. To zbiory nieskończone, ale o cesze zbioru liczb naturalnych. Tym zajmuje się matematyka DYSKRETNA. Ten dział matematyki jest także wykorzystywany w fizyce. Logika matematyczna, teoria gier, informatyka są w ciągłym rozkwicie.

Tak matematyka łączy się z fizyką. Dzięki częściowemu okiełzaniu przez matematykę problemu nieskończoności można zastosować zapis formalny matematyki do opisywania zjawisk fizycznych. One przecież istnieją obiektywnie. To zdumiewające, że można opisywać świat fizyki językiem formalnym matematyki.

Tak też narodziły się liczne hipotezy o MATEMATYCZNOŚCI Wszechświata. Szczególnie upodobała sobie matematykę kosmologia INFLACYJNA, ponieważ szybki rozwój wszechświata łatwiej wyjaśniać przy zastosowaniu matematyki i statystyki. Powstały modele wieloświatów teoretycznych: logiczno-matematycznych.

Nieskończoność w fizyce pojawia się na wielu polach. Istnieje nieskończoność w fizyce KLASYCZNEJ. Jest nieskończoność w kwantowej TEORII POLA. Nie można opisać i zrozumieć teorii GRAWITACJI Einsteina bez użycia nieskończoności.  W fizyce klasycznej nieskończoność pojawia się przy obliczeniach ENERGII ładunku w PUNKCIE. W kwantowej teorii pola i kwantowej elektrodynamice nieskończoność pojawia się przy operacjach sumowania ilości wymian fotonów pomiędzy cząstkami elementarnymi. To bardzo skomplikowane obliczenia. Pojawia się problem nieskończoności.

Taka droga wiedzie od matematyki do fizyki, w kontekście nieskończoności. Jeżeli tak się dzieje, to pojawiają się liczne problemy, bo przecież świat fizyczny jest skończony. Jak zatem pogodzić nieskończoność matematyczną ze skończonością fizyczną? Konieczny jest cokolwiek barbarzyński kompromis. Jest bowiem nieskończoność w fizyce matematycznej, ale tak jakby jej nie było. Dzięki temu kompromisowi można dokonywać fantastycznych odkryć. Warto zapłacić za to cenę pewnych uproszczeń.

Kolejnym zagadnieniem powiązania matematyki i fizyki są RÓWNANIA. To dzięki nim operacjonalizuje się powiązanie tych dwóch dziedzin. Pojęcie równania ma charakter umowny i konwencjonalny. Ot, wymyślono równanie. Są dwie strony równania i znak „=”, który zakłada tożsamość, albo IDENTYCZNOŚĆ. W równaniu znajdują się formy algebraiczne, znajdują się też NIEWIADOME. Jeżeli zaś są niewiadome, to pojawia się konstrukcja zagadki, a także pytania: jakie wartości odpowiadają tym niewiadomym?

W świecie fizycznym jest wiele niewiadomych, aby je rozszyfrować należy sformułować poprawnie równania, umieszczając w nich niewiadome, a potem rozwiązać te równania tak, aby niewiadome stały się … wiadome. Równanie jest zatem pewną formą ZADAWANIA PYTAŃ. Kluczową zatem jest kwestia, czy pytanie zostało właściwie zadane, czyli, czy równanie zostało poprawnie sformułowane.

Matematyka w ramach swojego formalizmu zdefiniowała wiele typów równań. Od bardzo prostych, do bardzo skomplikowanych. Każde z nich może służyć do formułowania pytań i uzyskiwania odpowiedzi. Pytania mogą dotyczyć optymalizacji pola działki budowlanej a mogą dotyczyć teorii grawitacji.

Do rozwiązania problemu pola działki budowlanej może służyć najprostsze RÓWNANIE LINIOWE. To typ podstawowych równań. Gdzie jest tylko jedna niewiadoma – zmienna X. Równanie ma postać: aX = b. Łatwo tutaj dokonać prostego przekształcenia i X = b/a. W równaniach liniowych rozwiązania są proste i natychmiastowe. Ten typ równań, to bardzo wąska grupa równań.

Istnieją także bardziej skomplikowane równania, które zakładają NIELINIOWOŚĆ. Czym jest zatem owo nieliniowość? To założenie wejściowe, że wynik równania nie jest PROPORCJONALNY do danych wejściowych. Już mnożenie zmiennych i ich potęgowanie tworzy nieliniowość. A proporcjonalność jest łatwa i oczywista. Tutaj trzeba jedną rzecz podkreślić: w fizyce większość zjawisk i oddziaływań jest właśnie nieliniowa. Ale trzeba dodać, że matematycznym opisywaniu zjawisk fizycznych zdąża się do stosowania możliwie prostych równań, więc czasami nieliniowe zjawiska fizyczne opisuje się równaniami liniowymi. To nazywa się linearyzacją. To operacja, gdzie jest zgoda na uproszczenie i zastosowanie równania liniowego.

Równań nieliniowych jest znacznie więcej niż liniowych i można je podzielić na dwa typy: równania nieliniowe algebraiczne i nieliniowe trygonometryczne. To dość proste rozróżnienie wynikające z faktu istnienia algebry i geometrii. Równania nieliniowej algebry zawierają niewiadome, które są podnoszone do potęgi, nazwane są dlatego równaniami WIELOMIANOWYMI. W nieliniowości trygonometrycznej istnieją równania zwane PRZESTĘPNYMI. One zawierają funkcje typu: sinus, cosinus, logarytm i inne podobne.

Ważną cechą równań nieliniowych jest ich trudności dość zdumiewająca cecha, że nie posiadają oczywistych rozwiązań, a nawet mogą posiadać kilka rozwiązań. To jest powód, że nie można opracować jakiejś jednoznacznej i ogólnej procedury rozwiązywania tego typu równań. Do rozwiązywania tego typu równań konieczne są znowu uproszczenia i kompromisy. To wymaga zabiegów, które nazywa się to ładnie METODOLOGIĄ NUMERYCZNĄ. Chodzi o to, że rozwiązania są liczbowe i przybliżone.

Tak przedstawia się zagadnienie równań liniowych i nieliniowych. Sprawa się komplikuje, jeżeli dla rozwiązania jakiegoś problemu sformułuje się UKŁAD RÓWNAŃ. To takie powiązanie kilku równań znajdujących się w logicznym związku. Zjawiska fizyczne mogą wymagać takiego właśnie związku. Może to być odpowiednio: układ równań liniowych i nieliniowych. Tutaj, szukanie rozwiązań, jest odpowiednio trudniejsze. Ale w przypadku układu równań liniowych jest trochę więcej roboty, ale idzie to rozwiązać i otrzymać cenne informację, jeżeli taki układ równań dotyczył zjawisk fizycznych. Przydatny do rozwiązywania układów takich równań jest rachunek macierzowy. To może trochę straszyć, ale algorytm macierzowy w wersji podstawowej jest dość czytelny i nietrudny.

Sprawa dodatkowo komplikuje się w przypadku układu równań nieliniowych. Pojedyncze równanie nieliniowe jest trudno rozwiązać, a co dopiero układ takich równań. To ekstremalnie trudne problemy matematyczne.

W świecie fizycznym rozwiązań nie dostarczają równania algebraiczne, w którym wynikiem – rozwiązaniem – jest liczba. Taka jest cecha fizycznego świata. Najczęściej rozwiązaniem jest jakaś FUNKCJA. Takie równania mają postać RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH. Dzięki takim równaniom matematycznym najczęściej są rozwiązywane skomplikowane problemy fizyczne, pochodzące wprost ze świata fizycznego.

Równanie różniczkowe jest to równanie na jakąś funkcję, które jest wyrażone przez tą funkcję i jej pochodne. To określa zależność pomiędzy funkcją badaną a jej pochodnymi. Inaczej, trzeba znaleźć taką funkcje, która doprowadzi do tożsamości i wyzeruje obie strony równania. Nie jest to łatwo intuicyjnie zrozumieć, ale trzeba się starać.

Istnieje podział na dwa typy równań różniczkowych: liniowych i nieliniowych. Należy się spodziewać, że nieliniowe równania różniczkowe to szczyt szczytów komplikacji. Istnieje wielka dziedzina wiedzy matematycznej, jak takie równania rozwiązywać.

No i znowu trzeba dodać, że w świecie fizycznym zależności pomiędzy zjawiskami i oddziaływaniami odbywają się zgodnie z konstrukcją nieliniowych równań różniczkowych. One pojawiają się wszędzie, nawet w mechanice klasycznej. Koronnym przykładem równań różniczkowych nieliniowych są RÓWNANIA Alberta Einsteina w teorii względności.

Jest jednak pewne zaskoczenie, że niektóre skomplikowane zjawiska w fizyce można opisać za pomocą „tylko” równań różniczkowych liniowych. Zaskoczeniem jest to właśnie, że mechanika kwantowa, tak rozległa dziedzina, symbol wszelakich komplikacji fizyki, daje się opisać liniowo. Emblematyczne równanie Erwina Schrödingera dla funkcji falowej jest liniowe. Zresztą, większość zjawisk falowych w fizyce można opisywać za pomocą równań liniowych, nie wolno zapomnieć, że różniczkowych. Nawet tak „magiczna” sprawa, jak zasada SUPERPOZYCJI możliwa jest do opisania liniowo. Czyli fakt, że cząstka elementarna może być w wielu miejscach naraz, również można opisać relatywnie prostymi różniczkowymi równaniami liniowymi.

Wracając do „filozofii” równania. Tak oto równanie matematyczne może być użyteczne dla rozwiązywania problemów świata fizycznego. Wymaga to wyobrażenia sobie samej struktury równania i jego podstaw, a wówczas można zrozumieć fakt powiązań matematyki i fizyki. Wielkie matematyczne równania fizyki uzyskują ontologię, stają się bytem. Zresztą także w wielu nauk stosowanych masywnie używana jest matematyka. Dlatego nazywa się matematykę dość trywialnie królową nauk.

Czym byłaby fizyka bez matematyki? Trudno sobie to nawet wyobrazić. Czym byłaby astronomia bez odkrycia Kopernika? Czym byłaby biologia bez teorii ewolucji i genetyki? Fizyka bez matematyki nie mogłaby dojść do problemów z nieskończonością. Ta ostatnia byłaby jedynie baśniowych wyobrażeniem, a nie matematycznym konstruktem.

A jaka droga wiedzie od fizyki do transcendencji? Czy przydatny może być matematycznych rachunek nieskończoności? No ale, gdyby to było wiadome, to transcendencja uzyskałaby znamiona rzeczywistości i tym samym przestałaby być transcendencją. Należy w tym miejscu wspomnieć o metafizyce. Ona dziarsko i bez ograniczeń operuje nieskończonością, wiecznością, absolutem. Tak właśnie metafizyka operacjonalizuje transcendencję. Tutaj „równania” są proste, ale nie ma to nic wspólnego z matematyką. Warto wgłębiać się w problematykę matematyki fizycznej. Podobno im bardziej się to rozumie, to zaczyna się czuć, że Wszechświat ma matematyczny charakter. Niestety, matematyka w wersji maturalnej jest tylko kikutem i z taką matematyką większość miała styczność. Ostatecznie w sklepie można resztę dobrze wyliczyć. Do czucia matematyczności świata jest bardzo daleko.