Matematyczny dylemat
Matematyka to królowa nauk. To podstawa wszystkich nauk ścisłych. Jest to doskonały i spójny system. To brzmi jak banał, truizm. Czyżby? Można się mocno spierać o matematykę, jeżeli wyjdzie się ponad zakres maturalny matematyki, a nawet jeżeli wyjdzie się ponad zakres akademicki. Na czym zatem polegają te spory?
Chodzi o podstawy matematyki, czyli o coś wcześniejszego niż sama matematyka. Wejść należy w metamatematykę. Co może zaskoczyć? Przecież wszystko jest jasne. Zadano jednak pytanie o SENS matematyki. Sens? Przecież można pytać także o sens. Jest matematyka…
Wyróżniono trzy podejścia odnośnie wyjaśnienia sensu matematyki. Nowożytnie ów sens wyjaśniał Immanuel Kant. Swoje wyjaśnienie zameldował John S. Mill. Wypowiedzieli się stanowczo w tym temacie formaliści – Hilbert, Russell, Whitehead. Mamy zatem trzy główne stanowiska.
Pierwsze, kantowskie, jest frapujące. Podobno matematyka jest formą ZMYSŁOWOŚCI – przestrzeni i czasu. Przestrzeń, to zmysłowy układ w geometrii. Czas, to następstwo liczb arytmetyki. To dwa wymiary to elementy JA transcendentalnego. To wedle Kanta składowe – człowieka matematycznego.
Kant wskazał dziedzinę matematyki. Dziedziną jest przestrzeń i czas, czyli geometria i arytmetyka. Jak rozumieć dziedzinę? Klasycznie, to argumenty funkcji. Funkcja matematyczna ma dziedzinę w postaci argumentów. Ale założywszy, że cała matematyka to funkcja, to jakie ma ta funkcja argumenty – meta-argumenty? Wedle Kanta wszystko jest jasne: argumentami funkcji matematyki jest przestrzeń i czas. A to ma zakotwiczenie w zmysłowości ja transcendentalnego. Mocne.
J. S. Mill twierdził inaczej, chociaż podobnie do Kanta uważał, że matematyka ma charakter syntetyczny – ma składowe. Tylko te składowe to nie kantowskie przestrzeń i czas. Dziedziną metamatematyki są dane empiryczne dostępne we wszystkich naukach empirycznych – fizyce, chemii, itd. Brzmi to bardzie współcześnie, ale…
Formaliści poszli jeszcze inaczej, albo zgoła inaczej. Twierdzili, że matematyka nie ma żadnej dziedziny. To tylko ciąg przekształceń. Matematykę traktowali jako … grę w szachy. To trochę spłycało sprawę, ale było kompletne. Chociaż Russel wyłamał się i uważał, że matematyka ma dziedzinę i są nią tzw. POWSZECHNIKI-abstrakty, takie platońskie idee.
Temat chciał szczerze rozwiązać Gottlob Frege – praojciec informatyki. Obwieścił, że matematyka jest redukowalna do logiki. Zdefiniował fenomenalną definicję liczby, jako przyporządkowanie zbiorów równolicznych. Dzisiejsze IT ma w tym, huraganowym dowodzie, swoją macierz.
Pogodził ich wszystkich matematyk Kurt Gödel. Sformułował dwa gigantyczne prawa, nazwane słusznie, na jego cześć – prawami Godla.
Gödel przyporządkował różnym kształtom zdań – liczby. Wynikanie – jako relacja pomiędzy zdaniami – miało postać operacji arytmetycznych. Wyszło Gödlowi, że … w danym systemie formalnym zbiór zdań dających się wyprowadzić z aksjomatów nie pokrywa się z liczbą zdań prawdziwych, ostatnich będzie więcej.
Trudno uwierzyć, ale DOWODLIWOŚĆ jest zawsze słabsza od PRAWDZIWOŚCI. Matematyki nie można sprowadzić do logiki i nie jest nauką zamkniętą.
Systemy formalne spełniające pewne założenia zawsze muszą być albo zupełne, albo niesprzeczne i nigdy nie posiadają obu tych własności jednocześnie.
Każdy system formalny rozstrzygalny jest niezupełny – I prawo Gödla. Czyli, jak się postaramy i stworzymy coś rozstrzygalnego, to nie będzie zupełne, CZEGOŚ zawsze będzie brakować.
Nie można dowieść niesprzeczności każdego systemu formalnego rozstrzygalnego – II prawo Gödla. I odwrotnie, jak będzie system rozstrzygalny, to będzie sprzeczny, ściślej: nie można dowieść jego niesprzeczności.
Zawsze jest jakiś brakujący element w każdym systemie, na danym poziomie sformalizowania. Element rozstrzygający będzie o poziom wyżej, a na poziomie tego brakującego elementu znowu będzie jeden element rozstrzygający i konieczny. I tak dalej, i tak dalej…
Jeżeli istnieje ostatni poziom, który będzie rozstrzygalny i zupełny? To może być matematyczny dowód na istnienie Boga. Może być, ale nie musi…
